Georg Cantor και η Θεωρία Συνόλων

 

Ο Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) ήταν διάσημος μαθηματικός, περισσότερο γνωστός για τη Θεωρία συνόλων που ανέπτυξε και τους υπεραριθμήσιμους αριθμούς. Στα μαθηματικά, θεωρία συνόλων ή συνολοθεωρία είναι η θεωρία που μελετά τα σύνολα, σε αντίθεση με τις υπόλοιπες μαθηματικές θεωρίες που εξετάζουν δομές, δηλαδή σύνολα εφοδιασμένα με συναρτήσεις και σχέσεις (π.χ. ομάδες, τοπολογικοί χώροι). Αν και οποιοσδήποτε τύπος από αντικείμενα μπορεί να ορίσει σύνολο, η θεωρία συνόλων εφαρμόζεται συνήθως σε αντικείμενα σχετικά με τα μαθηματικά.

Η σύγχρονη μελέτη της θεωρίας συνόλων ξεκίνησε από τον Γκέοργκ Καντόρ (Georg Cantor) και τον Ντέντεκιντ (Dedekind) τη δεκαετία του 1870. Μετά την ανακάλυψη παραδόξων στην άτυπη θεωρία συνόλων, πληθώρα συστημάτων αξιωμάτων προτάθηκαν την αρχή του εικοστού αιώνα, το πιο γνωστό από τα οποία η Ζερμέλο-Φράνκελ θεωρία συνόλων (Zermelo–Fraenkel set theory), με το αξίωμα επιλογής.

Η θεωρία συνόλων, που τυποποιείται με χρήση της λογικής πρώτου βαθμού, είναι το πιο διαδεδομένο θεμελιώδες σύστημα για τα μαθηματικά. Η γλώσσα της θεωρίας συνόλων χρησιμοποιείται στους ορισμούς σχεδόν όλων των μαθηματικών αντικειμένων, όπως οι συναρτήσεις, και έννοιες της συνολοθεωρίας υπάρχουν σε όλα τα διδακτέα προγράμματα μαθηματικών.

 Στοιχειώδη δεδομένα για τα σύνολα και την ιδιότητα μέλους συνόλου μπορούν να εισαχθούν στο δημοτικό σχολείο, μαζί με διαγράμματα Βεν, για τη μελέτη συλλογών από κοινά φυσικά αντικείμενα. Βασικές πράξεις όπως η ένωση και η τομή συνόλων μπορούν να μελετηθούν σ’αυτό το πλαίσιο. Πιο προχωρημένες έννοιες όπως η πληθικότητα είναι βασικό κομμάτι του προπτυχιακού διδακτικού προγράμματος μαθηματικών.

Πέρα από τη χρήση της ως θεμελιώδες σύστημα, η θεωρία συνόλων είναι ένας κλάδος των μαθηματικών από μόνη της, με ενεργή ερευνητική κοινότητα. Η σύγχρονη έρευνα στη συνολοθεωρία περιλαμβάνει μια ποικίλη συλλογή από θέματα, που φτάνουν από τη δομή της γραμμής των πραγματικών αριθμών έως τη μελέτη της συνέπειας για μεγάλους πληθάριθμους.

Ο Georg Cantor γεννήθηκε στις 3 Μαρτίου 1845 στην Αγία Πετρούπολη της Ρωσίας. Ήταν ο μεγαλύτερος από έξι παιδιά. Όταν ο πατέρας του αρρώστησε το 1856, η οικογένειά του μετακόμισε στη Γερμανία, πρώτα στο Βιζμπάντεν, έπειτα στη Φρανκφούρτη. Το 1862, ο Κάντορ αποφοίτησε από το ETH Ζυρίχης, ενώ αργότερα στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Ο Georg Cantor έλαβε έδρα καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Χάλε. Το 1874, ο Κάντορ παντρεύτηκε την Βάλλυ Γκούτμαν. Απέκτησαν μαζί 6 παιδιά. Εκείνη την εποχή, ο Κάντορ ανέπτυξε τη Θεωρία Συνόλων.

Το 1884, ο Κάντορ εισήχθη σε νοσοκομείο ύστερα από μια περίοδο κατάθλιψης. Ο Κάντορ αποσύρθηκε από την εκπαίδευση το 1913, ενώ πέθανε το 1918 ύστερα από μια περίοδο μεγάλης φτώχειας, σε ηλικία 72 ετών. Μεγάλη στιγμή της ζωής του είναι η απόδειξη πως το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο κάτι το οποίο κατάφερε με την τεχνική της Διαγωνιοποίησης.

O Georg Cantor γεννήθηκε στην Δυτική εμπορική αποικία στην Αγία Πετρούπολη, Ρωσία, και παρέμεινε εκεί έως την ηλικία των έντεκα. Ο Γκέοργκ, ο μεγαλύτερος από τα έξι παιδιά της οικογένειας, διακρίθηκε ως ένας εξαιρετικός βιολονίστας. Ο παππούς του Franz Böhm (1788–1846) ( αδερφός του Joseph Böhm ήταν γνωστός μουσικός και σολίστ στη Ρωσική αυτοκρατορία, έπαιζε μάλιστα στην αυτοκρατορική ορχήστρα.

Ο πατέρας του Κάντορ ήταν μέλος στο Χρηματιστήριο της Αγίας Πετρούπολης; όταν αρρώστησε, η οικογένεια του μετακόμισε στη Γερμανία το 1856, πρώτα στο Βισπάντεν και στη συνέχεια στη Φρανκφούρτη, αναζητώντας πιο ήπιους χειμώνες από αυτούς στην Αγία Πετρούπολη. Το 1860, ο Κάντορ αποφοίτησε με διάκριση από το σχολείο του Darmstadt; οι ιδιαίτερες ικανότητες του στα μαθηματικά, τριγωνομετρία συγκεκριμένα, ήταν εμφανής. Το 1862, ο Κάντορ εισήχθη στο Πανεπιστήμιο της Ζυρίχης.

Μετά την λήψη μιας μεγάλης κληρονομιάς λόγω του θανάτου του πατέρα του το 1863, ο Κάντορ στράφηκε στις σπουδές του στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου, παρακολουθώντας διαλέξεις από τον Leopold Kronecker,τον Karl Weierstrass και τον Ernst Kummer. Πέρασε το καλοκαίρι του 1866 στο Πανεπιστήμιο του Κέτιγκεν, όπου αποτέλεσε στη συνέχεια το κέντρο της μαθηματικής του έρευνας.

Δάσκαλος και ερευνητής: Το 1867, ο Κάντορ ολοκλήρωσε τη διατριβή του, για τη θεωρία των αριθμών, στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Αφού δίδαξε εν συντομία στο Βερολίνο Παρθεναγωγείο, ο Κάντορ ανέλαβε καθήκοντα στο Πανεπιστήμιο του Halle, όπου πέρασε όλη την καριέρα του. Του απονεμήθηκε η απαιτούμενη τιμή για την θεωρία του,όπως επίσης στην θεωρία αριθμών, που παρουσίασε το 1869 από το διορισμό του στο Halle.

Το 1874, ο Κάντορ παντρεύτηκε την Βάλλυ Γκούτμαν. Είχαν έξι παιδιά, η τελευταία (Rudolph) γεννήθηκε το 1886.Ο Κάντορ κατάφερε να στηρίξει μια οικογένεια παρά την μέτρια ακαδημαϊκή αμοιβή του, χάρη στην κληρονομιά από τον πατέρα του. Κατά τη διάρκεια του μήνα του μέλιτος στα βουνά Harz, ο Κάντορ ξόδεψε πολύ χρόνο στις μαθηματικές συζητήσεις με τον Richard Dedekind, τον οποίο γνώρισε δύο χρόνια νωρίτερα, ενώ ήταν διακοπές στην Ελβετία.

Ο Κάντορ προήχθη σε έκτακτο καθηγητή το 1872 και έγινε καθηγητής το 1879. Για την επίτευξη της τελευταίας βαθμίδας στην ηλικία των 34 το οποίο ήταν ένα αξιοσημείωτο επίτευγμα, αλλά ο Κάντορ επιθύμησε μια έδρα σε ένα πιο διάσημο πανεπιστήμιο, ιδίως στο Βερολίνο,που εκείνη τη στιγμή ήταν το ηγετικό γερμανικό πανεπιστήμιο. Ωστόσο, το έργο του αντιμετώπισε πάρα πολύ αντιπολίτευση για να γίνει αυτό εφικτό. Ο Kronecker, ο οποίος ήταν επικεφαλής των μαθηματικών στο Βερολίνο μέχρι το θάνατό του το 1891, ένιωθε όλο και πιο άβολα με την προοπτική της ύπαρξης του Κάντορ ως συνάδελφό του, τον αντιλαμβανόταν ως έναν «διεφθαρμένο από την νεότητα» για τη διδασκαλία των ιδεών του σε μια νεώτερη γενιά μαθηματικών.

Χειρότερα ακόμη, ο Kronecker, μια καθιερωμένη εικόνα στην μαθηματική κοινότητα και πρώην καθηγητής του Κάντορ, διαφώνησε με την ώθηση της δουλειάς του Κάντορ. Ο Kronecker, τώρα θεωρείται ως ένας από τους ιδρυτές της εποικοδομητικής πλευράς στα μαθηματικά, μεγάλο μέρος της θεωρίας συνόλων του Κάντορ του ήταν αντιπαθής επειδή υποστήριζε την ύπαρξη σύνολων που πληρούν ορισμένες ιδιότητες, χωρίς να δίνει συγκεκριμένα παραδείγματα των συνόλων, των οποίων τα μέλη πράγματι ικανοποιούσαν αυτές τις ιδιότητες. Ο Κάντορ πίστευε ότι η στάση του Kronecker θα καθιστούσε αδύνατον για αυτόν ποτέ να αφήσει το Halle.

Το 1881, ο συνάδελφος του Κάντορ από το Halle , Eduard Heine, πέθανε, δημιουργώντας μια κενή έδρα. Το Halle αποδέχθηκε την πρόταση του Cantor η οποία προσφέρθηκε στους Richard Dedekind|Dedekind, Heinrich M. Weber και Franz Mertens, με αυτή τη σειρά, αλλά ο καθένας αρνήθηκε την έδρα αφότου του προσφέρθηκε. Τελικά διορίστηκε ο Friedrich Wangerin ,αλλά δεν ήταν ποτέ κοντά στον Κάντορ.

Το 1882, η μαθηματική επικοινωνία μεταξύ του Κάντορ και του Dedekind έληξε, προφανώς ως αποτέλεσμα της άρνησης του Dedekind για την έδρα στο Halle.Ο Κάντορ άρχισε επίσης μία άλλη σημαντική επικοινωνία, με τον Gösta Mittag-Leffler στη Σουηδία, και σύντομα άρχισε να δημοσιεύει στην Εφημερίδα της Mittag-Leffler’s journal Acta Mathematica.

Αλλά το 1885,ο Mittag-Leffler ανησυχούσε για τη φιλοσοφική του φύση και είχε υποβάλει νέα ορολογία σε ένα έγγραφο του Κάντορ στην «Acta». Ζήτησε από τον Cantor να αποσύρει την εργασία από την «Acta», ενώ ήταν στην απόδειξη, γράφοντας ότι ήταν «…  περίπου εκατό χρόνια πάρα πολύ σύντομα». Ο Κάντορ συμμορφώθηκε, αλλά στη συνέχεια περιόρισε την σχέση του και την επικοινωνία του με τον Mittag-Leffler, γράφοντας σε τρίτους:

Ο Mittag-Leffler είχε τον τρόπο του, θα πρέπει να περιμένω μέχρι το έτος 1984, το οποίο σε εμένα φάνηκε πάρα πολύ μεγάλη απαίτηση! … Αλλά βέβαια ποτέ δεν θέλω να γνωρίζω τίποτα ξανά για την «Acta Mathematica».

Ο Κάντορ υπέστη την πρώτη γνωστή περίοδό κατάθλιψης το 1884. Η κριτική για την δουλειά του ζυγίζεται στο μυαλό του:σε κάθε ένα από τα πενήντα-δύο γράμματα που έγραψε στον Mittag-Leffler το 1884 αναφέρεται ο Kronecker. Ένα απόσπασμα από ένα από αυτά τα γράμματα αποκαλύπτει την ζημιά που έκανε στην αυτοπεποίθηση του Κάντορ:

… Εγώ δε ξέρω όταν θα επιστρέψω για τη συνέχιση της επιστημονικής δουλειάς μου. Αυτή τη στιγμή δε μπορώ να κάνω απολύτως τίποτα με αυτή, και περιόρισα τον εαυτό στο πιο απαραίτητο καθήκον από τις διαλέξεις μου, πόσο πιο ευτυχισμένος θα ήμουν αν ήταν επιστημονικά ενεργό, μακάρι να είχα την απαραίτητη ψυχική φρεσκάδα.

Αυτή η κρίση τον οδήγησε να συγκεντρωθεί στην διάλεξη της Φιλοσοφίας παρά στα μαθηματικά. Άρχισε επίσης μια έντονη μελέτη της Elizabethan literature σκεπτόμενος ότι μπορεί να υπάρχουν αποδεικτικά στοιχεία ότι ο Σερ Φράνσις Μπέικον έγραψε τα έργα που αποδίδονται στον Ουίλλιαμ Σαίξπηρ. Αυτό οδήγησε τελικά σε δύο φυλλάδια, δημοσιεύθηκαν το 1896 και το 1897.

Ο Κάντορ ανάρρωσε σύντομα έκτοτε, και στη συνέχεια έκανε περαιτέρω σημαντικές συνεισφορές, συμπεριλαμβανομένου του διάσημου διαγώνιου επιχειρήματος και του θεωρήματος. Ωστόσο, ποτέ ξανά δεν επέτυχε το υψηλό επίπεδο των επιστημονικών ανακοινώσεων του από το 1874–84. Αυτός τελικά επεδίωξε, και πέτυχε, μια συμφιλίωση με τον Kronecker. Ωστόσο, οι φιλοσοφικές διαφωνίες και δυσκολίες που τους χώριζαν συνεχίστηκαν.

Το 1890, Κάντορ έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ίδρυση της Deutsche Mathematiker-Vereinigungκαι υπό την Προεδρία του στην πρώτη συνεδρίασή του στο Halle το 1891, όπου εισήγαγε για πρώτη φορά το διαγώνιο επιχείρημα , η φήμη του ήταν αρκετά ισχυρή ώστε, παρά τις αντιδράσεις του Kronecker στο έργο του, για να την εξασφαλίσει εξελέγη ως ο πρώτος Πρόεδρος αυτής της κοινωνίας. Αφήνοντας κατά μέρος την εχθρότητα με τον Kronecker είχε εμφανιστεί απέναντί του, ο Κάντορ τον κάλεσε να προσφωνήσει την σύσκεψη, αλλά Kronecker δεν μπόρεσε να το πράξει, επειδή η σύζυγός του πέθαινε από τραυματισμούς σε ένα ατύχημα σκι κατά τη στιγμή.

Τα επόμενα χρόνια: Μετά από την νοσηλεία του Κάντορ το 1884 δεν υπάρχει καμία καταγραφή ότι ήταν σε κάποιο σανατόριο και πάλι μέχρι το 1899. Σύντομα μετά τη δεύτερη νοσηλεία του, ο νεότερος γιος του Κάντορ ο Rudolph πέθανε ξαφνικά (ενώ ο Κάντορ παρέδιδε μια διάλεξη σχετικά με τις απόψεις του για τη θεωρία του Baconian, και αυτή η τραγωδία «αποστράγγιξε» ένα μεγάλο μέρος του πάθους του Κάντορ για τα μαθηματικά.

Ο Κάντορ ήταν και πάλι στο νοσοκομείο το 1903. Ένα χρόνο αργότερα, ήταν εξοργισμένος και ταραγμένος από μια εισήγηση του Julius König που παρουσιάστηκε στο τρίτο Διεθνές Συνέδριο των μαθηματικών. Η εργασία του προσπάθησε να αποδείξει ότι οι βασικές αρχές της υπερπεπερασμένης θεωρίας συνόλων ήταν ψευδείς (τον Konig τώρα τον θυμόμαστε ως αυτόν που έχει επισημάνει ότι μερικά σύνολα δεν μπορεί να είναι καλά οργανωμένα, στην διαφωνία του με τον Κάντορ). 

Δεδομένου ότι η εργασία είχε διαβαστεί μπροστά στις κόρες του και τους συναδέλφους του, ο Κάντορ ένιωσε για τον εαυτό του σαν να έχει δημοσίως ταπεινωθεί. Αν και ο Ernst Zermelo απέδειξε σε λιγότερο από μια ημέρα αργότερα ότι η απόδειξη του König είχε αποτύχει, ο Κάντορ παρέμεινε ταραγμένος, έστω και στιγμιαία αναρωτιόνταν στον Θεό. Ο Κάντορ υπέφερε από χρόνια κατάθλιψη για το υπόλοιπο της ζωής του, λόγω της οποίας είχε απαλλαγεί από τη διδασκαλία σε αρκετές περιπτώσεις και επανειλημμένα περιοριζόταν σε διάφορα σανατόρια.

Τα γεγονότα του 1904 προκάλεσαν μια σειρά νοσηλειών κάθε δύο ή τρία χρόνια. Δεν εγκατέλειψε εντελώς τα μαθηματικά, ωστόσο, έδωσε διαλέξεις σχετικά με τα παράδοξα της θεωρίας συνόλων σε μια συνεδρίαση της «Deutsche Mathematiker–Vereinigung» το 1903, και συμμετείχε στο διεθνές συνέδριο των μαθηματικών στην Χαϊδελβέργη το 1904.

Το 1911, ο Κάντορ ήταν ένας από τους διακεκριμένους ξένους μελετητές οι οποίοι καλέστηκαν για να συμμετάσχουν στην 500η επέτειο από την ίδρυση του Πανεπιστημίου του St Andrews στην Σκωτία. Ο Κάντορ παρακολούθησε, ελπίζοντας να συναντήσει τον Bertrand Russell, ο οποίος πρόσφατα είχε δημοσιεύσει την Principia Mathematica η οποία αναφέρεται επανειλημμένα στο έργο του Κάντορ, αλλά αυτό δεν πραγματοποιήθηκε. Το επόμενο έτος, το St. Andrews βράβευσε τον Κάντορ με ένα τιμητικό διδακτορικό, αλλά η ασθένεια τον εμπόδισε από το παραλάβει το πτυχίο του αυτοπροσώπως.

Ο Κάντορ αποσύρθηκε το 1913, ζώντας σε συνθήκες φτώχειας και πάσχοντας από υποσιτισμό κατά τη διάρκεια του Α΄ Παγκοσμίου Πολέμου. Ο δημόσιος εορτασμός των γενεθλίων του ακυρώθηκε λόγω του πολέμου . Πέθανε στις 6 Ιανουαρίου το 1918 στο σανατόριο, όπου είχε περάσει το τελευταίο έτος της ζωής του.

Μαθηματική έρευνα: Η έρευνα του Κάντορ την περίοδο του 1874 με 1884 αποτελεί την απαρχή της θεωρίας συνόλων. Πριν όμως από την δική του έρευνα, η έννοια του σύνολου χρησιμοποιήθηκε έμμεσα από τις αρχές των μαθηματικών, εμφανίζεται μάλιστα και στις ιδέες του Αριστοτέλη. Κανείς δεν είχε συνειδητοποιήσει ότι η θεωρία συνόλων είχε μη τετριμμένο περιεχόμενο.

 Πριν τον Κάντορ, υπήρχαν μόνο πεπερασμένα σύνολα (τα όποια γίνονταν εύκολα κατανοητά) και τα «άπειρα» (τα οποία συμπεριελάμβαναν θέματα για πιο φιλοσοφική, παρά μαθηματική, συζήτηση).

Αποδεικνύοντας ότι υπάρχουν (απείρως) πολλά πιθανά μεγέθη για άπειρα σύνολα, o Κάντορ έκανε γνωστό ότι η θεωρία συνόλων δεν ήταν ασήμαντη, και χρειαζόταν μελέτη. Η θεωρία συνόλων αποτελεί τη βάση για τα μοντέρνα μαθηματικά, με την έννοια ότι ερμηνεύει προτάσεις μαθηματικών αντικειμένων (για παράδειγμα, οι αριθμοί και οι συναρτήσεις) από όλους τους τομείς των παραδοσιακών μαθηματικών (όπως της Άλγεβρας, της Μαθηματικής Ανάλυσης και της Τοπολογίας) σε μία ενιαία θεωρία και παρέχει ένα σύνολο από αξιώματα προς απόδειξη ή όχι. H βασική αντίληψη της θεωρίας συνόλων χρησιμοποιείται πλέον ευρέως στα μαθηματικά.

Σε ένα από τα τελευταία κομμάτια της εργασίας του, ο Κάντορ απέδειξε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι «πιο μεγάλο» από το σύνολο των φυσικών αριθμών; έτσι δείχθηκε, για πρώτη φορά, ότι υπάρχουν άπειρα σύνολα διαφορετικών μεγεθών. Ήταν ο πρώτος που εκτίμησε τη σημασία της 1 προς 1 αντιστοιχίας στη θεωρία συνόλων. Χρησιμοποίησε μάλιστα την έννοια αυτή για να ορίσει πεπερασμένα σύνολα και άπειρα σύνολα, υποδιαιρώντας το τελευταίο σε μετρήσιμα σύνολα (ή απείρως μετρήσιμα) σύνολα και μη μετρήσιμα σύνολα (ή μη αριθμήσιμα άπειρα σύνολα ).

Ένα μετρήσιμο σύνολο είναι ένα σύνολο το οποίο είναι ή πεπερασμένο ή αριθμήσιμο; τα αριθμήσιμα σύνολα είναι συνεπώς άπειρα μετρήσιμα σύνολα. Παρόλα αυτά, αυτή η ορολογία δεν χρησιμοποιείται παγκοσμίως, και μερικές φορές το «αριθμήσιμο» χρησιμοποιείται σαν συνώνυμο για το «μετρήσιμο».

Ο Κάντορ ανέπτυξε σημαντικές προτάσεις στην τοπολογία και σε σχέση με την πληθικότητα.  Για παράδειγμα, έδειξε ότι το Σύνολο του Κάντορ δεν είναι πυκνό πουθενά, αλλά έχει την ίδια πληθικότητα με το σύνολο των πραγματικών αριθμών, ενώ το σύνολο των ρητών είναι παντού πυκνό, αλλά μετρήσιμο.

Ο Κάντορ εισήγαγε θεμελιώδεις κατασκευές στη θεωρία συνόλων, όπως το δυναμοσύνολο ενός συνόλου A, το οποίο είναι δυνατό υποσύνολο του A. Αργότερα απέδειξε ότι το μέγεθος ενός δυναμοσυνόλου A είναι αυστηρά μεγαλύτερο από το A, ειδικά όταν το A είναι ένα άπειρο σύνολο, αυτό το συμπέρασμα σύντομα έγινε γνωστό ως το Θεώρημα του Κάντορ.

Ο Κάντορ ανέπτυξε μία ολόκληρη θεωρία και την αριθμητική των άπειρων συνόλων, που περιλαμβάνει τους πληθικούς αριθμούς και τους διατακτικούς αριθμούς, οι οποίοι επεκτείνονται στην αριθμητική των φυσικών αριθμών. Ο συμβολισμός για τους πληθικούς αριθμούς ήταν το γράμμα Hebrew με δείκτη ένα φυσικό αριθμό, για τους διατακτικούς επέλεξε το ελληνικό γράμμα ω.  Αυτός ο συμβολισμός διατηρείται ακόμα και σήμερα.

Η Υπόθεση του συνεχούς,που εισήχθη από τον Κάντορ, παρουσιάστηκε από τον David Hilbertως ένα από τα 23 ανοιχτά προβλήματα του ιδίου στη γνωστή διεύθυνση στο 1900 Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στο Παρίσι. Η εργασία του Κάντορ απέσπασε σπουδαία κριτική. Ο αμερικανός φιλόσοφος Charles Sanders Peirce εξήρε τη θεωρία συνόλων του Κάντορ, και, στις δημόσιες διαλέξεις που ακολούθησαν από τον ίδιο στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στη Ζυρίχη το 1897, ο Adolf Hurwitz και ο Jacques Hadamard εξέφρασαν και οι δύο τον θαυμασμό τους.

Στο Συνέδριο αυτό , ο Κάντορ ανανέωσε τη φιλία του και τη συνεργασία του με το Dedekind. Από το 1905, ο Κάντορ συνεργάστηκε με τον θαυμαστή του και μεταφραστή Philip Jourdain για την συγγραφή των εργασιών του πάνω στη θεωρία συνόλων και πάνω στις πεποιθήσεις του Cantor. Αυτό δημοσιεύτηκε αργότερα, όπως και αρκετά από τα έργα του.

Θεωρία Αριθμών, τριγωνομετρικές σειρές και διατακτικοί αριθμοί: Οι πρώτες 10 σελίδες της εργασίας του Κάντορ ήταν η βασική του άποψη πάνω στη θεωρία αριθμών. Με πρόταση του Eduard Heine, καθηγητής στο Halle, ο Κάντορ έκανε στροφή στη Μαθηματική ανάλυση. Ο Heine πρότεινε στον Κάντορ να λύσει το Ανοιχτό πρόβλημα που δεν κατάφεραν να λύσουν οι Peter Gustav Lejeune Dirichlet,Rudolf Lipschitz, Bernhard Riemann,και ο ίδιος ο Heine: η μοναδικότητα της εκπροσώπησης της συνάρτησης από τριγωνομετρικές σειρές.

Ο Κάντορ έλυσε αυτό το δύσκολο πρόβλημα το 1869. Καθώς δούλευε το πρόβλημα ανακάλυψε τον υπεραριθμήσιμο διατακτικό αριθμό, που παρουσιάστηκε ως δείκτης n στο n-οστό παραγόμενο σύνολο Sn του συνόλου S των μηδενικών από τριγωνομετρικές σειρές. Έστω μία τριγωνομετρική σειρά f(x) με S το σύνολο των μηδενικών, ο Κάντορ ανακάλυψε μία διαδικασία που παρήγαγε άλλες τριγωνομετρικές σειρές που είχαν το S1 ως το σύνολο των μηδενικών, όπου S1 είναι το σύνολο των οριακών σημείων του S.

Αν το Sk+1 είναι το σύνολο των οριακών σημείων του Sk, μπορεί να κατασκευαστεί μία τριγωνομετρική σειρά που τα μηδενικά της είναι Sk+1. 

Επειδή τα σύνολα Sk είναι κλεισμένα, περιέχουν τα οριακά σημεία, και η τομή από μία άπειρη φθίνουσα σειρά συνόλων S, S1, S2, S3,… περιγράφει ένα οριακό σύνολο, το οποίο μπορούμε τώρα να ονομάσουμε Sω, και ύστερα να συμβολίζεται ως Sω το οποίο επίσης μπορεί να είναι ένα σύνολο από οριακά σημεία Sω+1, και συνεχίζει έτσι.

Υπήρχαν παραδείγματα τα οποία ισχύουν πάντα, και εδώ ήταν μία άπειρη σειρά από άπειρους αριθμούς ω, ω+1, ω+2, … Ανάμεσα στο 1870 και το 1872, ο Κάντορ δημοσίευσε περισσότερες εργασίες πάνω σε τριγωνομετρικές σειρές, και επίσης μία εργασία διασαφηνίζει τους μη-ρητούς ως συγκλίνουσες σειρές από ρητούς αριθμούς.O Dedekind, που έγινε φίλος του Cantor το 1872, αναφέρθηκε σε αυτό το κείμενο αργότερα εκείνη τη χρονιά, δηλαδή στην εργασία που πρώτος τοποθέτησε τον επίσημο ορισμό των πραγματικών αριθμών από αποσπάσματα του Dedekind.

Επεκτείνοντας την έννοια του αριθμού μέσω μίας επαναστατικής ιδέας του για την άπειρη πληθικότητα, ο Κάντορ ήταν παραδόξως αντίθετος στις θεωρίες της απειροστικότητας από τις θεωρίες του Otto Stolz και του Paul du Bois-Reymond, περιγράφοντας και τις δύο ως «μία αποστροφή» και «μία χολέρα bacillus των μαθηματικών». Ο Cantor επίσης δημοσίευσε μία εσφαλμένη «απόδειξη» της ασυμφωνίας των συγκλίνουσων σειρών.

Θεωρία Συνόλων: H αρχή της θεωρίας συνόλων ως κλάδο των μαθηματικών χαρακτηρίζεται από μία δημοσίευση ενός άρθρου του Κάντορ το 1874 , «Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen» («Σε μία ιδιοκτησία της συλλογής όλων των αλγεβρικών πραγματικών αριθμών»). Αυτό το άρθρο ήταν το πρώτο που εισήγαγε μία αυστηρή απόδειξη στην πρόταση ότι υπάρχουν περισσότερα από ένα είδος απείρου. Προηγουμένως, όλες οι άπειρες συλλογές είχε υποτεθεί σιωπηρά να είναι ισάριθμες (που σημαίνει το «ίδιο μέγεθος» ή ότι υπάρχει ο ίδιος αριθμός των στοιχείων). Οι υπερβατικοί αριθμοί κατασκευάστηκαν πρώτα από τον Joseph Liouville το 1844.

Ο Κάντορ εγκαθίδρυσε αυτά τα αποτελέσματα χρησιμοποιώντας δύο κατασκευές. Η πρώτη κατασκευή δείχνει πώς γράφονται οι πραγματικοί αλγεβρικοί αριθμοί ως μία ακολουθία a1, a2, a3, …. Με άλλα λόγια, οι πραγματικοί αλγεβρικοί αριθμοί είναι μετρήσιμοι. Ο Κάντορ ξεκίνησε τη δεύτερη κατασκευή με μία σειρά πραγματικών αριθμών. Χρησιμοποιώντας αυτή την ακολουθία, κατασκεύασε έναν κιβωτισμό διανυσμάτων του οποίου η τομή περιλαμβάνει έναν πραγματικό αριθμό που δεν ανήκει στην ακολουθία.

Από την κάθε σειρά των πραγματικών αριθμών μπορεί να κατασκευαστεί ένας πραγματικός που δεν ανήκει στην ακολουθία, οι πραγματικοί αριθμοί δεν μπορούν να γραφούν ως ακολουθία – και οδηγεί στο συμπέρασμα ότι οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι μετρήσιμοι. Εφαρμόζοντας την κατασκευή σε μία ακολουθία πραγματικών αλγεβρικών αριθμών, ο Κάντορ δημιούργησε τους υπερβατικούς αριθμούς.

Ο Κάντορ έδειξε ότι οι κατασκευές του απέδειξαν πολλά – δηλαδή, παρέχουν μία νέα απόδειξη στο θεώρημα του Liouville: Kάθε διάστημα περιέχει άπειρους υπερβατικούς αριθμούς. To επόμενο άρθρο του Κάντορ περιλαμβάνει μία κατασκευή που αποδεικνύει ότι το σύνολο των υπερβατικών αριθμών έχει την ίδια «δύναμη»  όπως το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Ανάμεσα στο 1879 και στο 1884, ο Κάντορ δημοσίευσε μία σειρά από έξι άρθρα στο Mathematische Annalen τα οποία μαζί έδωσαν την μορφή για την εισαγωγή του στη θεωρία αριθμών. Ταυτόχρονα, υπήρχε μία αυξανόμενη δυσαρέσκεια στις ιδέες του Κάντορ, οδηγούμενη από τον Kronecker, ο οποίος αποδεχόταν τις θεωρίες του μόνο αν μπορούσαν να κατασκευαστούν σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων από φυσικούς αριθμούς, ο οποίος το πήρε ότι δίνεται διαισθητικά.

Για τον Kronecker, η άποψη του Κάντορ για το άπειρο ήταν απαράδεκτη, και μάλιστα πίστευε ότι οι αντιλήψεις του μπορεί να οδηγήσουν και σε παραδοχές για το πραγματικό άπειρο που θα αμφισβητήσει την εγκυρότητα των μαθηματικών στο σύνολό του. Ο Κάντορ επίσης εισήγαγε το Σύνολο του Κάντορ κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου.

Η πέμπτη εργασία του , «Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre» (Θεμέλια μιας γενικής θεωρίας των συνόλων), που δημοσιεύθηκε το 1883, ήταν η πιο σημαντική από τις έξι και δημοσιεύθηκε ως ξεχωριστό κομμάτι. Περιελάμβανε την απάντηση του Κάντορ στις κριτικές του και έδειξε πως οι υπεραριθμήσιμοι αριθμοί ήταν μία επέκταση των φυσικών αριθμών.

Ξεκίνησε ορίζοντας τα καλά διατεταγμένα σύνολα. Οι διατακτικοί αριθμοί εισήχθησαν αργότερα ως βαθμός χαρακτήρων των καλά διατεταγμένων συνόλων. Ο Κάντορ ύστερα όρισε το άθροισμα και τον πολλαπλασιασμό των πληθικών αριθμών και των διατακτικών αριθμών. Το 1885, ο Κάντορ επέκτεινε τη θεωρία της τάξης έτσι ώστε οι διατακτικοί αριθμοί να γίνουν μία ειδική περίπτωση τάξης.

Το 1891, δημοσίευσε ένα έγγραφο που περιείχε το κομψό του «διαγώνιο όρισμα» για την ύπαρξη ενός αμέτρητος συνόλου. Εφάρμοσε την ίδια ιδέα για να αποδείξει το θεώρημα του Κάντορ: η πληθικότητα του δυναμοσυνόλου ενός συνόλου A είναι αυστηρά μεγαλύτερη από την πληθικότητα του Α. Αυτό προσδιόρισε τον πλούτο της ιεραρχίας των άπειρων συνόλων και τον πληθικό και διατακτικό αριθμητικό μέσο που ο Κάντορ είχε ορίσει. Το επιχείρημά του είναι θεμελιώδους σημασίας για την επίλυση του προβλήματος Halting και την απόδειξη του πρώτου του πρώτου θεωρήματος της μη-πληρότητας του Gödel. Ο Κάντορ έγραψε για τη εικασία του Εικασία του Γκόλντμπαχ το 1894.

Το 1895 και το 1897, ο Κάντορ δημοσίευσε μια διμερή εργασία στο Mathematische Annalen κάτω από την εκδοτική καθοδήγηση του Felix Klein επρόκειτο για τις τελευταίες σημαντικές εργασίες σχετικά με την θεωρία συνόλων. Η πρώτη εργασία αρχίζει με τον καθορισμό συνόλου, του υποσυνόλου, κ.λ.π. με τρόπους του που θα ήταν σε μεγάλο βαθμό αποδεκτοί τώρα. Ο πληθικός και ο διατακτικός αριθμητικός μέσος ελέγχονται. Ο Κάντορ ήθελε το δεύτερο χαρτί να συμπεριλαμβάνει μια απόδειξη της συνεχούς υπόθεσης, αλλά έπρεπε να περιοριστεί για να παρουσιάσει τη θεωρία του των καλά οργανωμένων συνόλων και τους διατακτικούς αριθμούς.

Ο Κάντορ επιχειρεί να αποδείξει ότι αν Α και Β είναι σύνολα με Α ισοδύναμο με ένα υποσύνολο του Β και το Β ισοδύναμο με ένα υποσύνολο του Α, τότε A και B είναι ισοδύναμα. Ο Ernst Schröder είχε δηλώσει το θεώρημα αυτό λίγο νωρίτερα, αλλά η απόδειξή του, όπως και του Κάντορ, ήταν εσφαλμένη. Ο Felix Bernstein εφοδίασε μια σωστή απόδειξη στην διδακτορική του διατριβή το 1898, εξ ου και το όνομα Cantor–Bernstein–Schroeder theorem.

Υπόθεση του συνεχούς: Ο Κάντoρ ήταν ο πρώτος που διατύπωσε αυτό που αργότερα ήρθε να μαθευτεί ως η υπόθεση του συνεχούς ή CH: δεν υπάρχει κανένα σύνολο των οποίων η ισχύς είναι μεγαλύτερη από εκείνη των φυσικών και μικρότερη από εκείνη των πραγματικών. O Κάντορ πίστευε ότι η υπόθεση του συνεχούς είναι αλήθεια και προσπάθησε για πολλά χρόνια να το αποδείξει με μαθηματική απόδειξη, αλλά δεν τα κατάφερε. Η ανικανότητά του να αποδείξει την υπόθεση του συνεχούς του προκάλεσε σημαντικό άγχος.

Η δυσκολία που είχε ο Κάντορ στο να αποδείξει την υπόθεση του συνεχούς υπογραμμίστηκε από νεότερες εξελίξεις στον τομέα των μαθηματικών: Ένα αποτέλεσμα του 1940 από τον Gödel και μία του 1963 από τον Paul Cohen μαζί συνεπάγονται ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν μπορεί να αποδειχθεί, ούτε να διαψευσθεί με βάση το τυπικό της θεωρίας ZF συν το αξίωμα επιλογής (ο συνδυασμός καλείται «ZFC»).

Κάποιοι μαθηματικοί θεωρούν ότι αυτά τα αποτελέσματα έχουν διευθετήσει το θέμα, και, στην καλύτερη περίπτωση, επιτρέπουν να είναι δυνατό να εξεταστεί η επίσημες συνέπειες του CH ή η άρνηση της, ή των αξιωμάτων που συνεπάγονται μία από αυτές. Άλλοι συνεχίζουν να αναζητούν «φυσικά» ή «εύλογα» αξιώματα που όταν προστίθενται σε ZFC, θα επιτρέπουν είτε την απόδειξη είτε την διάψευση του CH, ή ακόμη και για άμεση απόδειξη, υπέρ ή κατά του CH, από τα πιο σημαντικά από αυτά είναι W. Hugh Woodin. Ένα από τα τελευταία χαρτιά του Gödel υποστηρίζει ότι το CH είναι ψευδές.

Παράδοξα της θεωρίας συνόλων: Οι συζητήσεις της θεωρίας συνόλων παράδοξο άρχισαν να εμφανίζονται γύρω στο τέλος του δέκατου ένατου αιώνα. Ορισμένες από αυτές υπονόησαν θεμελιώδη προβλήματα με το πρόγραμμα Κάντορ της θεωρίας συνόλων. Σε ένα έγγραφο του 1897 για ένα μη συνδεδεμένο θέμα, Cesare Burali-Forti, εμφάνισε το πρώτο τέτοιο παράδοξο, το Burali-Forti paradox: τον αριθμό σειράς του συνόλου της από όλα τα τακτικά αριθμητικά πρέπει να είναι ένα τακτικό και αυτό οδηγεί σε μια αντίφαση.

Ο Κάντορ ανακάλυψε αυτό το παράδοξο το 1895, και το περιέγραψε σε μία επιστολή του 1896 στον David Hilbert. Κριτική που τοποθετείται στο σημείο όπου ο Καντόρ ξεκίνησε αντεπιχειρήματα το 1903, που προορίζονται να υπερασπιστούν τις βασικές αρχές της θεωρίας συνόλων. Το 1899, ο Κάντορ ανακάλυψε το ομώνυμό του «το παράδοξο του Κάντορ» Ποιος είναι ο Καρδινάλιος αριθμός του συνόλου των συνόλων; Σαφώς πρέπει να είναι ο μεγαλύτερος δυνατός καρδινάλιος.

Ακόμη για οποιοδήποτε σύνολο «Α» ο Καρδινάλιος αριθμός του δυναμικού συνόλου του «A» είναι αυστηρά μεγαλύτερος από τον Καρδινάλιο αριθμό του «A» (αυτό το γεγονός είναι τώρα γνωστό ως θεώρημα του Κάντορ). Αυτό το παράδοξο, μαζί με την Burali-Forti του, οδήγησε τον Κάντορ να διατυπώσει μια έννοια που ονομάζεται όριο μεγέθους , σύμφωνα με το οποίο η συλλογή όλων των τακτικών αριθμητικών, ή όλων των συνόλων, ήταν μια ασυνεπής πολλαπλότητα που ήταν πολύ μεγάλη ώστε να είναι ένα σύνολο.

Τέτοιες συλλογές αργότερα έγιναν γνωστές ως κατηγορία θεωρία συνόλων. Μια κοινή άποψη μεταξύ των μαθηματικών είναι ότι αυτά τα παράδοξα, μαζί με το παράδοξο του Russell, δείχνουν ότι δεν είναι δυνατόν να πάρει ένα απλοϊκή, ή μη-αξιωματική, προσέγγιση στην θεωρία συνόλων χωρίς να διακινδυνεύσει αντίφαση, και αυτό είναι βέβαιο ότι ήταν μεταξύ των κινήτρων για τον Ernst Zermelo και άλλων που παρήγαγαν την αξιωματική θεωρία της θεωρίας συνόλων.

Άλλοι σημειώνουν, ωστόσο, ότι τα παράδοξα δεν εξασφαλίζονται τελικά από μια άτυπη άποψη που υποκινείται από την von Neumann universe ιεραρχία, που μπορεί να θεωρηθεί ως εξήγηση της ιδέας του περιορισμού του μέγεθος. Κάποιοι αμφισβητούν επίσης κατά πόσον η Gottlob Frege απλοϊκή θεωρία συνόλων (η οποία ήταν το σύστημα που διαψεύδεται άμεσα από το παράδοξο του Russell) είναι πραγματικά μια πιστή ερμηνεία της καντοριανής σύλληψης.

Φιλοσοφία, θρησκεία και τα μαθηματικά του Κάντορ: Η ιδέα της ύπαρξης ενός πραγματικού απείρου ήταν μια σημαντική κοινή ανησυχία εντός της σφαίρας των μαθηματικών, της φιλοσοφίας και της θρησκείας. 

Διατηρώντας την ορθοδοξία της σχέσης μεταξύ του Θεού και των μαθηματικών, αν και δεν είναι στην ίδια μορφή όπως πραγματοποιήθηκε από τους επικριτές του, ήταν εδώ και καιρό μια ανησυχία του Κάντορ . Απεύθυνε άμεσα αυτή τη τομή μεταξύ αυτών των κλάδων στην εισαγωγή του Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, όπου τόνισε τη σύνδεση μεταξύ της άποψή του για το άπειρο και της φιλοσοφικής του άποψης.

Οι μαθηματικές απόψεις του Καντόρ συνδέθηκαν ουσιαστικά με τις φιλοσοφικές και θεολογικές επιπτώσεις τους-προσδιόρισε το απόλυτο άπειρο με τον Θεό, και θεώρησε το έργο του σχετικά με αυτούς τους αριθμούς, οι οποίοι κοινοποιήθηκαν απευθείας σε αυτόν. Συζητήσεις μεταξύ μαθηματικών αύξησαν τις αντίθετες απόψεις στη φιλοσοφία των μαθηματικών σχετικά με τη φύση του πραγματικού απείρου. Μερικοί που επέμεναν στην άποψη ότι το άπειρο ήταν μια αφηρημένη έννοια η οποία δεν ήταν μαθηματικά νόμιμη, και να αρνήθηκαν την ύπαρξή της.

Μαθηματικοί από τρεις μεγάλες σχολές σκέψης (κονστρουκτιβισμού, ενορατισμού και απείρου) αντιτέθηκαν στις θεωρίες του Κάντορ επί του θέματος. Για κονστρουκτιβιστές όπως ο Κρόνεκερ, αυτή η απόρριψη του πραγματικού απείρου πηγάζει από τη θεμελιώδη διαφωνία με την ιδέα ότι μη κατασκευαστικές αποδείξεις όπως το διαγώνιο επιχείρημα του Καντόρ είναι επαρκής απόδειξη ότι κάτι υπάρχει, απορρίπτοντας ότι χρειάζονται εποικοδομητικές αποδείξεις.

Ο ενορατισμός απορρίπτει επίσης την ιδέα ότι το πραγματικό άπειρο είναι μια έκφραση της πραγματικότητας, αλλά να καταλήγει στην απόφαση μέσω μιας διαφορετικής διαδρομής από ότι ο κονστρουκτιβισμός. Πρώτον, το επιχείρημα του Κάντορ στηρίζεται στη λογική να αποδείξει την ύπαρξη των υπεράριθμων αριθμών ως πραγματική μαθηματική οντότητα, ενώ οι πανεπιστημιακοί πιστεύουν ότι οι μαθηματικές οντότητες δεν μπορούν να μειωθούν σε λογικές προτάσεις, προερχόμενοι αντίθετα από τις διαισθήσεις του νου. Δεύτερον, η έννοια του απείρου, ως έκφραση της πραγματικότητας είναι η ίδια που απαγορεύθηκε στον ενορατισμό, δεδομένου ότι το ανθρώπινο μυαλό δεν μπορεί να κατασκευάσει διαισθητικά ένα άπειρο σύνολο.

Οι τρεις κρίσεις στα μαθηματικά: Λογικισμός, ενορατισμός και φορμαλισμός. 

Μαθηματικοί, όπως Luitzen Egbertus Jan Brouwer και ιδιαίτερα η Henri Poincaré υιοθέτησαν μια διαισθητική στάση απέναντι στην εργασία του Κάντορ. Αναφέροντας τα παράδοξα της θεωρίας συνόλων ως ένα παράδειγμα θεμελιώδους ελαττωματικής φύσης. Ο Poincaré υποστήριξε ότι οι περισσότερε από τις ιδέες της θεωρίας συνόλων του Κάντορ πρέπει να εκδιωχθούν από τα μαθηματικά, μια για πάντα.

Τέλος, οι επιθέσεις του Ludwig Wittgenstein ήταν τελειωτικές: πίστευε ότι το διαγώνιο επιχείρημα του Κάντορ συγχέεται με την πρόθεση ενός συνόλου καρδινάλιων ή πραγματικών αριθμών με το επέκταση του, συγχύζοντας έτσι την έννοια των κανόνων για την παραγωγή ενός συνόλου με ένα πραγματικό σύνολο. Μερικοί χριστιανοί θεολόγοι είδαν το έργο του ως Κάντορ ως μια πρόκληση για τη μοναδικότητα του απόλυτου απείρου στη φύση του Θεού.

Ειδικότερα, νεοθωμιστές στοχαστές είδαν την ύπαρξη ενός πραγματικού απείρου που αποτελούνταν από κάτι άλλο εκτός του Θεού ο οποίος τέθηκε σε κίνδυνο «η αποκλειστική αξίωση του Θεού στην υπέρτατη αιωνιότητα. Ο Κάντορ πίστευε ότι η άποψη αυτή ήταν μια παρερμηνεία του απείρου, και ήταν πεπεισμένος ότι η θεωρία συνόλων θα μπορούσε να βοηθήσει ώστε να διορθωθεί αυτό το λάθος. Ο Κάντορ επίσης πίστευε ότι η θεωρία των υπεραριθμήσιμων αριθμών του καταστρατηγούσε και τον υλισμό και τον Ντετερμινισμό – και συγκλονίστηκε όταν συνειδητοποίησε ότι ήταν η μόνη σχολή μέλος στο Halle που δεν άντεχε τις ντετερμινιστικές φιλοσοφικές πεποιθήσεις.

Το 1888, ο Κάντορ δημοσίευσε την αλληλογραφία του με αρκετές φιλοσόφους σχετικά με τις φιλοσοφικές προεκτάσεις της θεωρίας του συνόλων. Σε μια εκτεταμένη προσπάθεια του να πείσει άλλους Χριστιανούς στοχαστές αλλά και αρχές να υιοθετήσουν τις απόψεις του, ο Κάντορ συνεργάστηκε με την χριστιανούς φιλόσοφους όπως Tilman Pesch και Joseph Hontheim, καθώς και θεολόγους, όπως Johannes Franzelin, που κάποτε απάντησε εξισώνοντας τη θεωρία των υπεραριθμήσιμων αριθμών του με το πανθεϊσμός. Ο Καντόρ ακόμη έστειλε ένα γράμμα απευθείας στο πάπα Leo ΧΙΙΙ και απηύθυνε διάφορα φυλλάδια σ ‘ αυτόν.

Η Φιλοσοφία του Κάντορ σχετικά με τη φύση των αριθμών τον οδήγησε να επιβεβαιώσει την πίστη στην ελευθερία των μαθηματικών για να τοποθετήσει και να αποδείξει τις έννοιες πέρα από τη σφαίρα των φυσικών φαινομένων, ως εκφράσεις μέσα σε μια εσωτερική πραγματικότητα. Οι μόνοι περιορισμοί σε αυτό το σύστημα μεταφυσικοί είναι ότι όλες οι μαθηματικές έννοιες πρέπει να στερούνται εσωτερικής αντίφασης, και ότι ακολουθούν από υφιστάμενους ορισμούς, αξιώματα και θεωρήματα. Αυτή η πεποίθηση συνοψίζεται στη διάσημη διαβεβαίωσή του ότι η ουσία των μαθηματικών είναι ελευθερία. Αυτές οι ιδέες παραλληλίζονται με αυτές των Edmund Husserl.

Εν τω μεταξύ, ο Κάντορ ο ίδιος ήταν έντονα αντίθετος με τους άπειρους αριθμούς χαρακτηρίζοντάς τους βδέλυγμα και χολέρα των μαθηματικών.

Η εργασία του Κάντορ αποκαλύπτει ότι γνώριζε πολύ καλά τις αντιθέσεις που αντιμετώπιζαν οι ιδέες του «Αντιλαμβάνομαι ότι στην επιχείρηση αυτή τοποθετώ τον εαυτό μου σε μια ορισμένη αντίληψη στις ευρέως διαδεδομένες απόψεις που αφορούν το μαθηματικό άπειρο και στις απόψεις που συχνά υπερασπίζονται τη φύση των αριθμών».

Ως εκ τούτου αφιερώνει πολύ χώρο στη δικαιολόγηση των προηγουμένων έργων του, επιβεβαιώνοντας ότι μαθηματικές έννοιες μπορεί να εισάγονται ελεύθερα για όσο χρονικό διάστημα είναι απαλλαγμένες από αντιθέσεις και ορισμένες σε όρους προηγούμενων αποδεκτών εννοιών. Μνημονεύει, επίσης, τον Αριστοτέλη, τον Descartes, τον Berkeley,τον Leibniz, και τον Boltzano στο άπειρο.

Καταγωγή του Κάντορ: Πολύ λίγα είναι σίγουρα γνωστά για την προέλευση και την εκπαίδευση του Κάντορ. Οι πρόγονοι του Κάντορ ήταν από την Κοπεγχάγη, και κατέφυγαν στην Ρωσία λόγω της διαταραχής των ναπολεόντειων πολέμων. Υπάρχουν πολύ λίγες άμεσες πληροφορίες για τους παππούδες του. Ο Κάντορ κλήθηκε μερικές φορές από τους Εβραίους στη διάρκεια της ζωής του, αλλά έχει επίσης ποικιλοτρόπως κληθεί από τους Ρώσους, τους Γερμανούς καθώς και από τους Δανούς.

Ο Τζέικομπ Κάντορ, παππούς του Καντόρ, έδωσε στα παιδιά του χριστιανικά ονόματα. Περαιτέρω, αρκετοί από τους συγγενείς της γιαγιάς του ήταν στην τσαρική δημόσια υπηρεσία, που δεν θα δεχόταν Εβραίους, εκτός αν μεταπηδούσαν στο Χριστιανισμό. Ο πατέρας του Κάντορ, εκπαιδεύτηκε στην αποστολή της Λουθηρανικής στην Αγία Πετρούπολη, και στην αλληλογραφία του με τον γιο του δείχνει δύο από αυτούς ως αφοσιωμένος Λουθηρανούς.

Η μητέρα του, Maria Anna Böhm , καταγόταν από την Αυστρία και την Ουγγαρία, γεννήθηκε στην Αγία Πετρούπολη και βαπτίστηκε ρωμαιοκαθολική. 

Ασπάστηκε τον Προτεσταντισμό κατόπιν γάμου. Ωστόσο, υπάρχει μια επιστολή από τον αδελφό του Καντόρ Louis στη μητέρα τους, δηλώνοντας:

«Ακόμη και αν εμείς καταγόμαστε από τους Εβραίους δέκα φορές πάνω , και ακόμα κι αν μπορεί να είμαστε, κατ ‘ αρχήν, εντελώς υπέρ των ίσων δικαιωμάτων για τους Εβραίους, στην κοινωνική ζωή προτιμώ τους Χριστιανούς…» που θα μπορούσε να διαβαστεί και να υπονοεί ότι ήταν εβραϊκής καταγωγής. Υπήρχαν τεκμηριωμένες δηλώσεις, κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1930, που έθεσε την εβραϊκή καταγωγή σε αμφισβήτηση:Πιο συχνά δηλαδή, από την καταγωγή της μητέρας έχει συζητηθεί αν ο Καντόρ ήταν εβραϊκής καταγωγής.

Για αυτό αναφέρεται σε ανακοίνωση του Δανέζικου γενεαλογικού Ινστιτούτου στην Κοπεγχάγη από το έτος 1937 σχετικά με τον πατέρα του: » Με το παρόν πιστοποιείται ότι ο Καντόρ, που γεννήθηκε το 1809 ή 1814, δεν είναι παρόν στα μητρώα της εβραϊκής κοινότητας, και ότι χωρίς αμφιβολία δεν ήταν Εβραίος.

Λέγεται επίσης αργότερα στο ίδιο έγγραφο: Επίσης προσπάθειες για μεγάλο χρονικό διάστημα από τη βιβλιοθηκάριο Josef Fischer, ένας από τους καλύτερους εμπειρογνώμονες της εβραϊκης γενεαλογίας στη Δανία, κατηγορείται για τον εντοπισμό των Εβραίων καθηγητών, ότι ο Κάντορ ήταν εβραϊκής καταγωγής, χωρίς αποτέλεσμα. Κάτι που φαίνεται να είναι λάθος με αυτήν την πρόταση, αλλά η έννοια φαίνεται αρκετά σαφης. Σε δημοσιευμένες εργασίες του Κάντορ και του Nachlass δεν υπάρχει καμία δήλωση από τον ίδιο, που αφορούν την εβραϊκή καταγωγή των προγόνων του.

Υπάρχει για να είστε σίγουροι στο Nachlass ένα αντίγραφο μιας επιστολής από τον αδελφό του Λούντβιχ από τις 18 Νοεμβρίου 1869 στη μητέρα τους με κάποια δυσάρεστη αντισημιτική δήλωση, στην οποία λέγεται μεταξύ άλλων.

 Σε άνδρες μαθηματικούς, ο Eric Bell περιέγραψε τον Κάντορ ως καθαρό Εβραίο προερχόμενο και από τις δύο πλευρές αν και οι δύο γονείς ήταν βαφτισμένοι. Το 1971 ένα άρθρο με τίτλο «Τowards» μια βιογραφία του Κάντορ, ο Βρετανός ιστορικός των μαθηματικών Ivor Grattan-Γκίνες αναφέρει ότι δεν μπόρεσε να βρει αποδείξεις για την εβραϊκή καταγωγή. (Επίσης δηλώνει ότι η γυναίκα του Καντόρ, Βάλλυ Γκούτμαν, ήταν εβραϊκής καταγωγής).

Σε μια επιστολή που γράφεται από τον Κάντορ στον Paul Tanneryτο 1896 (Paul Tannery, απομνημονεύματα Scientifique 13 αλληλογραφία, Gauthier-Villars, Παρίσι, 1934, σ. 306), ο Κάντορ αναφέρει ότι οι πρόγονοί του ήταν μέλη της εβραϊκής κοινότητας των Σεφαραδιτών της Κοπεγχάγης. Συγκεκριμένα, ο Κάντορ δηλώνει περιγράφοντας τον πατέρα του: » γεννήθηκε στην Κοπεγχάγη από Εβραίους γονείς από την τοπική πορτογαλική-εβραϊκή κοινότητα.

Ο μεγάλος θείος του Καντόρ απο την πλευρά της μητέρας του, ένας Ούγγρος βιολιστής Josef Böhm, περιγράφηκε ως Εβραίος, πράγμα που σημαίνει ότι η μητέρα του Καντόρ ήταν τουλάχιστον εν μέρει από την ουγγρική εβραϊκή κοινότητα. Σε επιστολή του προς τον Bertrand Russell, ο Κάντορ περιέγραψε την καταγωγή και την αυτο-αντίληψη ως εξής: «Ούτε ο πατέρας μου ούτε η μητέρα μου ήταν γερμανικής καταγωγής, ο πατέρας μου είναι Δανός, γεννημένος στην Κοπεγχάγη, η μητέρα μου από Αυστρία και Ουγγαρία. Πρέπει να ξέρετε, κύριε, ότι δεν είμαι ένας συνηθισμένος ακριβώς Γερμανός, γιατί έχω γεννηθεί 3 Μαρτίου 1845 στο Saint Peterborough, πρωτεύουσα της Ρωσίας, αλλά πήγα με τον πατέρα μου, την μητέρα μου και τα αδέλφια μου, έντεκα ετών στο έτος 1856, στη Γερμανία.»

Ιστοριογραφία: Μέχρι το 1970 οι κύριες επιστημονικές δημοσιεύσεις για τον Κάντορ ήταν δύο σύντομες μονογραφίες από τον Arthur Moritz Schönflies (1927)- σε μεγάλο βαθμό η αλληλογραφία Μitta-Leffler- και τον Φράνκελ (1930). Κανένας τους δεν αναφέρει πολλά σχετικά με την προσωπική του ζωή.

 Το χάσμα σε μεγάλο βαθμό καλύφθηκε από τον Eric Temple Bell, άντρα των μαθηματικών (1937), το οποίο ένας από τους μοντέρνους βιογράφους του Κάντορ το περιγράφει ως «ίσως το πιο ευρύτατα σύγχρονα διαβασμένο βιβλίο στην ιστορία των μαθηματικών και ως ένα από τα χειρότερα».

Ο Bell παρουσιάζει την σχέση του Κάντορ με τον πατέρα του ως οιδιπόδεια, τις διαφορές του Κάντορ με τον Κρονεκερ ως μια διαμάχη μεταξύ δύο Εβραίων, και την τρέλα του Κάντορ ως ρομαντική απόγνωση πάνω από την αποτυχία να κερδίσει την αποδοχή του στα μαθηματικά, και συμπληρώνει την εικόνα με στερεότυπα. Ο Grattan-Guinness (1971) διαπίστωσε ότι κανένας από αυτούς τους ισχυρισμούς δεν ήταν αλήθεια, αλλά μπορούν να βρεθούν σε πολλά βιβλία της περιόδου που μεσολάβησε, εξ αιτίας της απουσίας άλλων αφηγήσεων.

Υπάρχουν άλλοι θρύλοι, ανεξάρτητα από τον Bell μεταξύ των οποίων ένας χαρακτηρίζει τον πατέρα του Κάντορ ένα έκθετο βρέφος, που στάλθηκε στην Αγία Πετρούπολη από άγνωστους γονείς. Τα εβραϊκά στερεότυπα του Bell φαίνεται να έχουν αφαιρεθεί από μερικές μεταπολεμικές εκδόσεις.

Τι είναι αληθοφανές τελικά; Ότι ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με μια ευθεία, και μετά από διαδοχικά βήματα με όλο τον χώρο; Ότι οι περιττοί αριθμοί έχουν την ίδια ισχύ με τους φυσικούς; Ότι αν πάρουμε το σύνολο όλων των συνόλων αυτό είναι μικρότερο από ένα άλλο σύνολο που είναι το δυναμοσύνολό του; Ότι στα απειροσύνολα το μέρος μπορεί να είναι ίδιο με το όλο; Ότι με το λεγόμενο διαγώνιο επιχείρημα αποδεικνύεται ότι κάποια άπειρα όπως των πραγματικών είναι μεγαλύτερα άπειρα από εκείνα των ακεραίων; Ότι υπάρχουν οι λεγόμενοι «διατακτικοί αριθμοί» που διατάσσουν αυτά τα άπειρα μέχρι το άπειρο; Ότι το λεγόμενο απόλυτο άπειρο και φιλοσοφικά νοημένο δεν υφίσταται;

Όλα αυτά τα «περίεργα» τα απέδειξε και τα θεμελίωσε ο Γκέοργκ Κάντορ στο τέλος του 19ου αιώνα και άνοιξε τα πανιά της επιστήμης του απειροστικού λογισμού !

Όμως δεν είχε υπολογίσει τις αντιδράσεις ! Τον είπανε απατεώνα, τον εξορίσανε από τα κυκλώματα της εποχής και η επαγγελματική του εξέλιξη παρέμεινε μηδενική. Κάποια στιγμή το τελειωτικό χτύπημα ήταν η μη δημοσίευση του Principien από τον Mittag-Leffler το 1885.

Από τότε ξεκίνησε μια πορεία στο λαβύρινθο του ασυνείδητου, ο οργανισμός του έφτιαξε ένα στέρεο κέλυφος άμυνας ψευδαίσθησης απέναντι στη σκληρή πραγματικότητα ! Αυτό το κέλυφος που δεν μπόρεσε να κατασκευάσει όσο ήταν μέσα στη σύμβαση του κόσμου και χάθηκε μέσα στην καθόλου σκέψη, στην πλήρη αφαίρεση.

Όταν πια αναγνωρίστηκε το έργο του μετά από λίγο ήταν πια αργά για να το χαρεί !

Το παράδειγμα της ζωής του Γκέοργκ Κάντορ μας δείχνει ότι όταν τα Μαθηματικά είναι ελεύθερα και  συνδεδεμένα με τις ανησυχίες και τους γενικότερους προβληματισμούς του ανθρώπου, άσχετα με το όποιο τίμημα, αποδίδουν καρπούς και προχωράνε την επιστήμη και τη σκέψη !

Στο Grundlagen γράφει: «Εξ αιτίας αυτής της ιδιόμορφης θέσης που διακρίνει τα Μαθηματικά από τις άλλες επιστήμες και που είναι μια εξήγηση για τον χαλαρό και ελεύθερο τρόπο που ακολουθούν αυτά, αξίζουν το όνομα Ελεύθερα Μαθηματικά, μια ονομασία που αν είχα την επιλογή θα την προτιμούσα από την έκφραση: Καθαρά Μαθηματικά».

Περίπου στο τέλος της καριέρας του, όσο ήταν ακόμη διαυγής, ασχολήθηκε με τη θεολογία αλλά και με την ιστορία. Προσπάθησε να εφαρμόσει τη θεωρία των διατακτικών αριθμών στη προσπάθεια σύλληψης της ιδέας του θεού. 

Αφού απόλυτο άπειρο δεν υπήρχε, δεν ήταν δυνατόν να εξακριβωθεί η ουσία του θεού, όπως και το σύνολο των σκέψεων του θεού ήταν άπειρο…

Ο Gurbelet που τον εκτιμούσε πολύ, χρησιμοποίησε τη θεωρία του Κάντορ για να θεμελιώσει κάποια επιχειρήματα ύπαρξης του θεού, χωρίς επιτυχία.

 terrapapers.com
ntokoumentagr.blogspot.gr